Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду ${\displaystyle x^{3}+px+q=0\!}$. Вона має вигляд:

${\displaystyle x_{1}=^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

${\displaystyle x_{2,3}=-{\frac {1}{2}}\left(^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.\right)\pm {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\left(^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.\right)}$

Названа на честь італійського математика Джироламо Кардано, який і опублікував її вперше в 1545. Одразу після публікації Нікколо Тарталья звинуватив Кардано в плагіаті: останній у трактаті «Ars Magna» розкрив алгоритм розв'язання кубічних рівнянь, що його довірив йому Тарталья в 1539 році під обіцянку не публікувати. Хоча Кардано не приписував алгоритм собі і чесно повідомив у книзі, що авторами є Сціпіон дель Ферро і Тарталья, алгоритм сьогодні відомий під назвою «формула Кардано».

Виведення формули Кардано

Нехай дано рівняння ${\displaystyle \ x^{3}+px+q=0}$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді ${\displaystyle \ x=u+v.}$

Отримаємо рівняння

${\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$

Введемо додаткову умову для змінних ${\displaystyle \ 3uv+p=0,}$

утворену систему ${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}}$ розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}\\v^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}\end{cases}}}$, де ${\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$ — дискримінант кубічного рівняння, звідки

${\displaystyle {\begin{cases}u={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}\\v={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}\end{cases}}}$

Розв'язок рівняння подається у вигляді ${\displaystyle x=u+v}$. В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб ${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}$. Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

Див. також

• Кубічне рівняння
• Дискримінант
• Джироламо Кардано