Розширення поля

Розширення поля — поле ${\displaystyle L}$ для якого поле ${\displaystyle K}$ є підполем.

Позначається ${\displaystyle L/K}$ або ${\displaystyle K\subset L}$.

Класифікація

Скінченні і нескінченні розширення

Довільне розширення ${\displaystyle L/K}$ також є векторним простором над ${\displaystyle K}$. Розмірність цього векторного простору позначається ${\displaystyle [L:K]}$.

• Скінченним розширенням називається розширення, що є скінченновимірним векторним простором над ${\displaystyle K}$.

• В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Прості і скінченнопороджені розширення

Якщо ${\displaystyle L/K}$ — деяке розширення поля ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle S}$ підмножина ${\displaystyle L}$, що не має спільних елементів з ${\displaystyle K}$, то ${\displaystyle K(S)}$ позначає найменше поле, що містить ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle S}$.

• Просте розширення — розширення, породжене одним елементом ${\displaystyle E=K(\alpha )}$. Цей елемент називають первісним елементом.
• Скінченно породжене розширення — розширення ${\displaystyle L}$, яке породжене скінченною кількістю елементів: ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\ldots \alpha _{n})}$.

Алгебричні і трансцендентні розширення

Елемент з ${\displaystyle L}$, що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з ${\displaystyle K}$ називається алгебричним в розширенні ${\displaystyle L/K}$. Елемент ${\displaystyle L}$, що не є алгебричним називається трансцендентним.

• Алгебричне розширення — розширення ${\displaystyle L/K}$, всі елементи якого є алгебричними над ${\displaystyle K}$.
• Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Нормальні, сепарабельні розширення

• Нормальне розширення — алгебричне розширення ${\displaystyle L}$, для якого кожен незвідний многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$, що має хоч би один корінь в ${\displaystyle L}$, розкладається в ${\displaystyle L}$ на лінійні множники.
• Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів ${\displaystyle \alpha }$, мінімальний многочлен ${\displaystyle f(x)}$, над ${\displaystyle K}$ для яких не має кратних коренів.
• Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади

• Поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і полем розкладу многочлена ${\displaystyle \ x^{2}+1}$. Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є ${\displaystyle \ i.}$

• Поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел. Прикладами трансцендентних елементів можуть бути, наприклад числа e і π.

• Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.

• Усі розширення полів характеристики 0 і скінченних полів є сепарабельними.