Нейтральний елемент

Нейтра́льний елеме́нт бінарної операції — елемент, який, беручи участь у бінарній операції, залишає незмінним інший елемент.

Нейтральний елемент
Формула	${\displaystyle \forall a\in A\colon \,e*a=a,\,a*e=a}$
Позначення у формулі	${\displaystyle A}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle *}$
Описано за адресою	math.libretexts.org/Bookshelves/PreAlgebra/Prealgebra_1e_(OpenStax)/07%3A_The_Properties_of_Real_Numbers/7.05%3A_Properties_of_Identity_Inverses_and_Zero andreaminini.org/matematica/gruppi/elemento-neutro-di-un-gruppo sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-06-2/A%20note%20on%20identity%20elements(Ho%20Soo%20Thong%20and%20Tay%20Yong%20Chiang).pdf taylorandfrancis.com/knowledge/Engineering_and_technology/Engineering_support_and_special_topics/Identity_element/
Протилежне	Абсорбуючий елемент

Якщо ${\displaystyle (S,*)}$ — множина ${\displaystyle S}$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент ${\displaystyle e\in S}$ називається нейтральним відносно цієї операції, якщо

${\displaystyle x*e=e*x=x,\quad \forall x\in S}$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для якого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }*x=x,\quad \forall x\in S}$,

• правий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для якого

${\displaystyle x*e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in S}$.

В загальному випадку може існувати довільна кількість елементів, нейтральних зліва чи справа. Якщо одночасно існують лівий та правий нейтральні елементи, то вони співпадають, оскільки:

${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$.

Приклади

Якщо бінарна операція називається додаванням чи відніманням, то нейтральний елемент називають: нулем, нульовим елементом чи 0.

Якщо бінарна операція називається множенням чи діленням, то нейтральний елемент називають: одиницею, одиничним елементом чи 1.

Об'єкти	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Числа	${\displaystyle +}$ (додавання)	0
Числа	${\displaystyle \cdot }$ (множення)	1
Вектори	${\displaystyle +}$ (додавання векторів)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ нульовий вектор
Матриці	${\displaystyle +}$ (додавання матриць)	нульова матриця
Матриці	${\displaystyle \times }$ (множення матриць)	одинична матриця
Функції	${\displaystyle \circ }$ (композиція функцій)	тотожне відображення
Множини	${\displaystyle \cap }$ (перетин множин)	універсальна множина
Множини	${\displaystyle \cup }$ (об'єднання множин)	${\displaystyle \varnothing }$ (порожня множина)
Логічні змінні	${\displaystyle \wedge }$ (кон'юнкція)	${\displaystyle \top }$ (true)
Логічні змінні	${\displaystyle \lor }$ (диз'юнкція)	${\displaystyle \bot }$ (false)