Круг

Круг, кружа́ло або диск (від лат. discus, що походить від грец. δίσκος — «тарілка») — геометрична фігура, обмежена колом.

Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центра круга) не перевищує заданої відстані (радіуса круга).

Також круг можна означити як частину площини, що обмежена колом і об'єднана з самим цим колом. ^{:стор.156}

Коло є межею круга.

Круг називається замкненим або відкритим в залежності від того чи містить він коло, яке його обмежує. В декартових координатах, відкритий круг з центром ${\displaystyle (a,b)}$ та радіусу R задається формулою

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

Закритий круг задається нестрогою нерівністю

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leqslant R^{2}\}.}$

Куля є узагальненням поняття круга на метричний простір.

Інколи замість терміна круг використовують термін диск.

Термінологія

Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

Частини круга:

1. 1 Круговий сектор — частина круга, що обмежена двома його радіусами та дугою кола між цими радіусами.
   Також, круговий сектор — частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута. ^{:стор.424}
   Площу сектора круга радіуса ${\displaystyle R}$ можна визначити за формулою: ^{:стор.157}

${\displaystyle S_{\text{сект.}}={\frac {\pi \cdot R^{2}}{360}}\cdot \alpha ={\frac {\varphi \cdot R^{2}}{2}}}$
де ${\displaystyle \alpha }$ — градусна міра центрального кута;
${\displaystyle \varphi }$ — міра центрального кута в радіанах.

1. 2 Круговий сегмент — частина круга, що обмежена дугою та хордою, що сполучає її кінці. ^{:стор.157}
   Також, круговий сегмент — спільна частина круга і півплощини. ^{:стор.425}
   Площу сегмента круга радіуса ${\displaystyle R}$ можна визначити за формулою: ^{:стор.158}

${\displaystyle S_{\text{сегм.}}={\frac {\pi \cdot R^{2}}{360}}\cdot \alpha \pm S_{\triangle AOB}}$
(рос.)де ${\displaystyle \alpha }$ — градусна міра центрального кута.

1. 3 Півкруг — сегмент, якому відповідає розгорнутий кут.^{:стор.158}
   Також півкруг — частина круга, що обмежена дугою півкола та діаметром.

1. 4 Кільце — частина площини, що обмежена двома концентричними колами.

Площею круга називають площу фігури, що обмежена колом. Площа круга обчислюється за формулою:^{:стор.156}

${\displaystyle S=\pi R^{2}\ }$, де ${\displaystyle \pi \approx 3{,}141592654}$ — константа пі.

Периметром круга називають довжину кола, що його обмежує:

${\displaystyle L=2\pi R.}$

Властивості

• Круг — центрально-симетрична фігура.
• При обертанні площини відносно центра круг переходить сам у себе.
• Круг є опуклою фігурою.

• (Ізопериметрична нерівність) Круг є фігурою, що має найбільшу площу при заданому периметрі. Або, що те ж саме, що має найменший периметр при заданій площі.
• Площу круга можна визначити, як границю послідовності площ правильних багатокутників, вписаних у відповідне коло, коли довжини сторін наближаються до нуля.^{:стор.157}

Круг в метричному просторі

Поняття кола дослівно узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. На відміну від випадку евклідових просторів, при довільних метриках круги метричного простору можуть бути дуже химерно влаштовані — зокрема, у разі дискретної метрики можна побудувати приклад, коли відкритий та замкнений круги певного радіуса збігаються.

Однак деякі властивості все ж зберігаються, а саме: опуклість та наявність центральної симетрії.

Наприклад, якщо розглянути вуличну метрику, яка на евклідовій площині задається співвідношенням:

${\displaystyle \rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$,

то одиничним колом з центром в початку координат ${\displaystyle (0,0)}$ буде квадрат з вершинами ${\displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}$.

В цій метриці, формула круга з центром в ${\displaystyle (0,0)}$ радіусу R буде наступна:

${\displaystyle \rho ((0,0);(x,y))=|x|+|y|<R.}$

Див. також

• Коло
• Куля
• Число пі
• Квадратура круга
• Круговий трикутник