Коло

Ко́ло — це геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є сталою величиною і дорівнює радіусу кола. Коло є найпростішою замкненою фігурою.

Коло
Належить до класів	anallagmatic curve^d, Ribaucour curve^d, синусоїдальна спіраль, геометричне місце точок, аналітичний многовид, еліпс, троянда, крива, гіперсфера^[d], крива сталої ширини, Zindler curve^d, generalised circle^d, конічний переріз, геометричний примітив і геометрична фігура
Площа	0
Периметр	${\displaystyle C=2\pi r}$
Коло у Вікісховищі

Простіше означення: коло — це замкнена крива, всі точки якої рівновіддалені від однієї, яка є центром кола. Частина площини, обмежена колом, — це круг.

Коло також можна визначити як особливий вид еліпса, в якого два фокуси збігаються, а ексцентриситет дорівнює 0, або як двовимірну форму, що охоплює найбільшу площу на одиницю квадрата периметра, якщо використовувати мову варіаційного числення.

Коло з центром у точці ${\displaystyle O}$ і радіусом ${\displaystyle r}$ позначають ${\displaystyle O(r)}$.

Інструментом для побудови кола є циркуль.

Визначення Евкліда

Коло є плоскою фігурою, що обмежено однією лінією, такою, що всі прямі лінії, які можна намалювати з певної точки в середині неї до обмежувальної лінії, є рівними. Обмежувальна лінія називається колом, а точка є центром.

— Евклід, Елементи, Книга I

Термінологія

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд — діаметр — проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Історія

Коло було відомим ще до початку записаної історії. Люди могли спостерігати кола в природі, такі як Місяць, Сонце, коротке стебло рослини, яке крутить вітер і утворює коло на піску. Коло є основою колеса, що стало революційним винаходом, а з пов'язаним з ним зубчастим колесом зробило можливим існування сучасних механічних машин. У математиці вивчення кола допомогло розвитку геометрії, астрономії та числення.

Ранній розвиток науки, зокрема геометрії, астрології та астрономії, пов'язували з божественним для середньовічних вчених, більшість з яких вірила, що існує щось «божественне» або «досконале», яке можна знайти, вивчаючи коло.

Деякі важливі та цікаві моменти з історії кола:

• 1700 до н. е. — Папірус Рінда описує метод обчислення площі круглого поля. Результат відповідає такому значенню 256/81 (3.16049…), що дає наближене значення числа π
• 300 до н. е. — Книга 3 із Начал Евкліда (Елементи) присвячена властивостям кола.
• У Сьомому листі^[en]Платона подано детальне означення і пояснення кола. Платон пояснює, що таке ідеальне коло і чим воно відрізняється від будь-якого малюнка, слів, означень або пояснень.
• 1880 н. е. — Ліндеман довів, що π є трансцендентним числом, що дало остаточну відповідь на задачу тисячоліття про квадратуру круга.

Означення кола

Алгебраїчне означення

Коло з радіусом ${\displaystyle r}$ на площині в декартовій системі координат ${\displaystyle Oxy}$ описується рівнянням:

${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2},}$

де r — радіус кола, точка (a, b) — центр кола.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора при її застосовувані до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус є гіпотенузою прямокутного трикутника, катети якого ${\displaystyle x-a}$ та ${\displaystyle y-b}$.

Рівняння кола з радіусом ${\displaystyle r}$ і центром в початку координат має вигляд: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }$

Загальне рівняння кола:

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+Dx+Ey+F=0\!}$

Якщо відомі координати трьох точок на площині ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$ і ${\displaystyle \left(x_{3},y_{3}\right)}$, то рівняння кола, яке проходить через ці точки, можна записати через визначник:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Параметричне означення

Коло радіуса ${\displaystyle r}$ на площині в декартовій системі координат ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ описується системою рівнянь:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccl}x&=&a+r\,\cos t\\y&=&b+r\,\sin t\end{array}}\right.,}$

де параметр ${\displaystyle t}$ — пробігає значення від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2\pi }$. З геометричної точки зору — це кут до осі ${\displaystyle x}$ променя, проведеного з початку координат до точки ${\displaystyle (x,y)}$. Якщо записати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ через параметр ${\displaystyle t}$, що пробігає множину ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всіх дійсних чисел, отримаємо:

${\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}$

де ${\displaystyle a}$ — радіус кола, ${\displaystyle r_{0}}$ — відстань від початку координат до центра кола та ${\displaystyle \phi }$ — кут, відкладений проти годинникової стрілки від додатної осі ${\displaystyle x}$ до лінії, що з'єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого розташований в початку координат ${\displaystyle r_{0}=0}$, це рівняння спрощується до вигляду ${\displaystyle r=a}$. Якщо ${\displaystyle r_{0}=a}$ або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi )}$.

В загальному випадку, рівняння можна розв'язати для r:

${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}}$,

Розв'язок зі знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина

Рівняння кола на комплексній площині:

${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|=R\,}$, де ${\displaystyle z_{0}}$ — центр кола з радіусом ${\displaystyle R}$,

або в параметричному вигляді

${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .\,}$

Означення Аполлонія

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками.

Властивості

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж тільки одне.
• Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
• Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих певної довжини коло обмежує область максимальної площі.
• Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
  • Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
  • Вписаний кут, що спирається на діаметр кола, дорівнює 90°.
• Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом, дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
• Кут між хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті, і дуги навпроти неї.
• Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
• Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
• При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків, на які ділиться інша.
• Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині степені точки відносно кола.
  • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом ${\displaystyle R}$, утвореного центральним кутом ${\displaystyle \varphi }$, виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

${\displaystyle L=\varphi R}$.

Довжину кола з радіусом ${\displaystyle R}$ можна обчислити за формулою

${\displaystyle \ C=2\pi R}$,

де ${\displaystyle \pi }$ — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

${\displaystyle S=\pi R^{2}=\pi {\frac {D^{2}}{4}}}$,

де ${\displaystyle D=2R}$ — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру круга: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрата з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцендентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеман.

Коло як конічний переріз

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перерізу. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс з однаковими півосями, або іншими словами, коло є еліпсом з нульовим ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ визначається рівнянням

${\displaystyle \left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0}$,

де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.\,}$

Див. також

• Круг
• Криві другого порядку
• Полярне коло
• Гіперцикл (геометрія)
• Коловий граф