Алгебрично замкнуте поле

Алгебрично замкнуте поле — поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$, у якому довільний многочлен ненульового степеня над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ має хоч би один корінь.

Еквівалентні визначення

Деяке поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ є алгебрично замкненим, тоді і тільки тоді, коли виконуються такі твердження:

• Усі незвідні многочлени над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ мають степінь 1.
• Кожен многочлен є добутком многочленів степеня 1.
• Кожне лінійне відображення ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ має власний вектор.

Пов'язані визначення

• Для будь-якого поля існує єдине з точністю до ізоморфізму його алгебричне замикання, тобто його алгебричне розширення, що є алгебрично замкнутим.

Властивості

• В алгебрично замкнутому полі ${\displaystyle \mathbb {K} }$, кожен многочлен степеня n має рівно n (з урахуванням кратності) коренів ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Інакше кажучи, кожний незвідний многочлен з кільця многочленів ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ має степінь 1.
• Скінченні поля не можуть бути алгебрично замкнутими. Дійсно, якщо розглянути многочлен, коренями якого є всі елементи поля і додати 1, то одержаний многочлен не матиме коренів у даному полі.

Приклади

• Многочлен з цілими коефіцієнтами x² + 1 = 0 має тільки комплексні корені, тому ні раціональні числа, ні дійсні не є алгебрично замкнутими.
• Алгебричним замиканням поля дійсних чисел, є поле комплексних чисел. Його алгебрична замкнутість встановлюється основною теоремою алгебри.
• Алгебричним замиканням поля раціональних чисел, є поле комплексних алгебричних чисел.

Див. також

• Ернст Штайніц
• Замикання (математика)
• Кільце многочленів