Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ є алгебраїчним, якщо існує многочлен

${\displaystyle \ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$,

де ${\displaystyle \forall _{k\in \{1\cdots n\}}~a_{k}\in \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle f(\alpha )=0}$.

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади

• Всі раціональні числа є алгебраїчними: число ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$ є, наприклад, коренем рівняння ${\displaystyle bx-a=0}$.
• Уявна одиниця, число ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ є алгебраїчним, як корінь рівняння ${\displaystyle x^{2}+1=0}$.
• Числа e, π, e^π є трансцендентними. Статус числа π^e невідомий.
• Якщо ${\displaystyle \alpha \neq 0,1,\,\beta \notin \mathbb {Q} }$ — алгебраїчні числа, тоді ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ — трансцендентне число.
• Числа ${\displaystyle \cos(1^{\circ })}$ і ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ є алгебраїчними (кути в градусах).

Цей факт випливає з тригонометричної рівності:

${\displaystyle \cos((n+1)\theta )=2\cos(n\theta )\cos \theta -\cos((n-1)\theta )}$

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

${\displaystyle g_{n+1}(x)=2g_{n}(x)x-g_{n-1}(x),\,}$

то ${\displaystyle \cos(m\theta )=g_{m}(\cos \theta ),m\in \mathbb {N} .}$ Звідси одержуємо:

${\displaystyle 0=\cos(90\cdot 1^{\circ })=g_{90}(\cos 1^{\circ }),}$ тобто ${\displaystyle \cos(1^{\circ })}$ є коренем многочлена ${\displaystyle g_{90}(x),}$ що й доводить твердження.

Для ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ достатньо зазначити, що всі степені ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle g_{90}(x)}$ є парними і що ${\displaystyle \cos(1^{\circ })={\sqrt {1-\sin ^{2}(1^{\circ })}}}$.

Мінімальний многочлен

Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких ${\displaystyle \alpha }$ є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним ${\displaystyle 1}$. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа ${\displaystyle \alpha }$.

• Степінь мінімального многочлена ${\displaystyle \alpha }$ називається степенем алгебраїчного числа ${\displaystyle \alpha }$.
• Інші корені мінімального многочлена ${\displaystyle \alpha }$ називаються спряженими до ${\displaystyle \alpha }$.
• Висотою алгебраїчного числа ${\displaystyle \alpha }$ називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого ${\displaystyle \alpha }$ є коренем.

Мінімальний многолен числа ${\displaystyle \alpha }$ має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \alpha }$ — ціле алгебраїчне число.

Приклади

• Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
• Уявна одиниця ${\displaystyle i}$ так само як ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно ${\displaystyle -i}$ та ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.
• При будь-якому натуральному ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{2}}}$ є алгебраїчним числом ${\displaystyle n}$-го степеня.

Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — алгебраїчні числа то їх обернені елементи ${\displaystyle -\alpha }$ і ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$, а також сума ${\displaystyle \alpha +\beta }$ і добуток ${\displaystyle \alpha \beta }$ також є алгебраїчними числами.

Доведення

• Спершу доведемо алгебраїчність ${\displaystyle -\alpha }$. Якщо ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого ${\displaystyle \alpha }$ є коренем, то ${\displaystyle -\alpha }$ буде коренем многочлена ${\displaystyle -f(x)}$. Тобто ${\displaystyle -\alpha }$ — алгебраїчне число.

• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — корінь многочлена ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\in \mathbb {Z} [x]}$, то ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ є коренем многочлена ${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{k}\in \mathbb {Z} [x]}$, отже ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ теж є алгебраїчним числом.

• Доведемо тепер алгебраїчність ${\displaystyle \alpha +\beta }$. Припустимо α є коренем многочлена ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ і ${\displaystyle \beta }$ є коренем многочлена ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$. Нехай ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ — всі корені ${\displaystyle f(x)}$ (враховуючи їх кратність, так що степінь ${\displaystyle f(x)}$ рівний ${\displaystyle n}$) і нехай ${\displaystyle \beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}$ — всі корені ${\displaystyle g(x)}$. Розглянемо многочлен:

${\displaystyle F(x)=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}(x-(\alpha _{i}+\beta _{j}))}$.

Множина ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [\beta _{1},\ldots ,\beta _{m}]}$ є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти ${\displaystyle F(x)}$ є симетричними многочленами від чисел ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$. Тому якщо, ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n}}$ — елементарні симетричні многочлени від ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ і ${\displaystyle A}$ — деякий коефіцієнт (при ${\displaystyle x^{k}}$) многочлена ${\displaystyle F(x)}$, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що ${\displaystyle A=B(\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{n})}$ для деякого многочлена ${\displaystyle B}$ з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти ${\displaystyle F(x)}$ також є симетричними многочленами від чисел ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}$. Нехай ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]}$ і ${\displaystyle \sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{n}'}$ — елементарні симетричні многочлени від ${\displaystyle \beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}$ тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени ${\displaystyle A=B'(\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{m}')}$ для деякого многочлена ${\displaystyle B'}$ з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{m}'}$ є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт ${\displaystyle A}$. Тому ${\displaystyle F(x)\in \mathbb {Q} [x]}$ і оскільки ${\displaystyle \alpha +\beta }$ є коренем ${\displaystyle F(x)}$ це число є алгебраїчним.

• Алгебраїчність числа ${\displaystyle \alpha \beta }$ доводиться аналогічно до випадку ${\displaystyle \alpha +\beta }$, розглядаючи многочлен:

${\displaystyle F(x)=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}(x-(\alpha _{i}\beta _{j}))}$.

Властивості

• Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
• Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
• Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
• Для довільного алгебраїчного числа ${\displaystyle \alpha }$ існує таке натуральне ${\displaystyle N}$, що ${\displaystyle N\alpha }$ — ціле алгебраїчне число.
• Алгебраїчне число ${\displaystyle \alpha }$ степеня ${\displaystyle n}$ має ${\displaystyle n}$ різних спряжених чисел (включаючи саме число ${\displaystyle \alpha }$).
• ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля ${\displaystyle \mathbb {A} }$, що переводить ${\displaystyle \alpha }$ у ${\displaystyle \beta }$.
• В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
  • Теорема Ліувіля: якщо ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ є коренем многочлена ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ степінь якого рівний ${\displaystyle n}$, тоді існує число ${\displaystyle A}$ залежне від ${\displaystyle \alpha }$, що

${\displaystyle \left|\alpha -\left({\frac {a}{b}}\right)\right|>\left({\frac {A}{b^{n}}}\right)}$, для довільного раціонального числа ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$.

• • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ є алгебраїчним числом, тоді для довільного ${\displaystyle \varepsilon }$ існує лише скінченна кількість пар цілих чисел ${\displaystyle (a,b)}$ де ${\displaystyle b>0}$ для яких:

${\displaystyle \left|\alpha -\left({\frac {a}{b}}\right)\right|<\left({\frac {1}{b^{(2+\varepsilon )}}}\right).}$

Див. також

• Ціле алгебраїчне число
• Алгебраїчне розширення