Інтеграл Борвейна

У математиці, Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками Девідом Борвейном^[en] та Джонатаном Борвейном в 2001 році. Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$.Функція sinc визначається як ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ де ${\displaystyle x\neq 0}$ та ${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}$.

Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Ця закономірність продовжується до

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.}$

Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\approx {\frac {\pi }{2}}-2{,}31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ,якщо числа ${\displaystyle 3,5,7,\ldots }$ замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за ${\displaystyle 1}$ .

У наведеному вище прикладі, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{13}}<1,}$ але ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1.}$

З включенням додаткового множника ${\displaystyle 2\cos(x)}$ закономірність витримує більш довший ряд:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},}$

але

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{113}}\,{\rm {d}}x<{\frac {\pi }{2}}.}$

У цьому випадку, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{111}}<2,}$ але ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{113}}>2.}$

Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення. Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.

Загальна формула

Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел , ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$, можна представити загальну формулу для інтеграла

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x.}$

Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають ${\displaystyle a_{k}}$. Зокрема, якщо ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ набір з ${\displaystyle n}$ чисел, де кожне ${\displaystyle \pm 1}$, то тоді запишемо ${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$, що є певним зкакозмінним рядом декількох перших ${\displaystyle a_{k}}$, та покладемо ${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$, де ${\displaystyle \pm 1}$. У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n},}$

де

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{\gamma }).}$

У випадку, якщо ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$, то ${\displaystyle C_{n}=1}$.

Крім того, якщо існує ${\displaystyle n}$ що для кожного ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ виконуються умови ${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$ та ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$, тобто ${\displaystyle n}$ - перше значення за якого часткова сума перших ${\displaystyle n}$ елементів послідовності перевищує ${\displaystyle a_{0}}$, тоді ${\displaystyle C_{k}=1}$ для кожного ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ але

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}.}$

Розглянемо випадок коли ${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$.

Якщо ${\displaystyle n=7}$ ,то ${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$ та ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0,955,}$ але ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1,02.}$

Оскільки ${\displaystyle a_{0}=1}$, то отримуємо формулу

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},}$

яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}}$

що дорівнює значенню, заданому вище.