Правильний тетраедр

Пра́вильний тетра́едр — чотиригранник, усі грані якого — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

(1, 1, 1)
(-1, −1, 1)
(-1, 1, −1)
(1, −1, −1)

Довжина ребра в цьому випадку становитиме $2{\sqrt {2}}$ .

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

площа поверхні

{\sqrt {3}}a^{2}\,\!

об'єм

{\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}

висота

{\sqrt {\frac {2}{3}}}a\,\!

радіус вписаної сфери

{\frac {\sqrt {6}}{12}}a

радіус описаної сфери

{\frac {\sqrt {6}}{4}}a

Радіус напіввписаної сфери

{\frac {\sqrt {2}}{4}}a

кут нахилу ребра

\arctan {\sqrt {2}}\approx {\frac {7}{23}}\pi

кут нахилу грані

\arctan 2{\sqrt {2}}\approx {\frac {29}{74}}\pi

група симетрій — тетраедрична (T_h)

Властивості правильного тетраедра

У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
Правильний тетраедр із ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (у вершинах) із ребром х/2.
Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, причому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому, чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.

У фізичному світі

Крижані кристали H₂O
Молекула метану CH₄
Алмаз, C, — тетраедр із ребром рівним 2,5220 Å
Флюорит CaF₂, тетраедр із ребром рівним 3,8626 Å
Сфалерит, ZnS, тетраедр із ребром рівним 3,823 Å

Див. також

http://geom11klas.blogspot.com/2014/07/blog-post_8356.html