Куб

Куб
Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі
Тип	Правильний багатогранник
Властивості	Опуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивний, зоноедр, багатогранник Ганнера
Комбінаторика
Елементи	6 граней {4}; 12 ребер; 8 вершин (3-го степеня).
Грані	6 квадратів
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Конфігурація вершини	4.4.4 = 4^3 В кожній вершині сходяться 3 квадрати.
Конфігурація грані	V 3.3.3.3 = V (3)^4
Вершинна фігура	Правильний трикутник з довжиною сторони ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
Класифікація
Позначення	• C (в нотації Конвея^[en] ) • P4 (в нотації Стюарта) • U06 (як однорідний багатогранник) • C18 (в нотації Г. Коксетера) • W3 (в нотації М. Веннінґера)
Символ Шлефлі	${\displaystyle \{4,3\}}$
	Як квадратна призма: ${\displaystyle t\{2,4\}}$ або ${\displaystyle \{4\}\times \{\}}$ Як прямокутний паралелепіпед: ${\displaystyle tr\{2,2\}}$ або ${\displaystyle \{\}\times \{\}\times \{\}=\{\}^{3}}$ ^:ст.234
Символ Витгоффа^[en]	3 | 2 4
Діаграма Коксетера-Динкіна	(або x4o3o)
Діаграма Шлегеля
Група симетрії	Oh^[en], B3, [4,3], (*432), порядок 48 (Повна симетрія правильного октаедра)
Група обертань	O, [4,3]^+, (432), порядок 24
Двоїстий багатогранник	Правильний октаедр
Розгортка

Куб (від лат. cubus і далі від дав.-гр. κύβος, первісно — «кубічна кістка для гри») або правильний гекса́едр (від дав.-гр. ἑξα- — «шість» + ἕδρα — «грань, поверхня») — правильний шестигранник, поверхня якого складена з шести квадратів, є одним з п’яти опуклих правильних багатогранників (тіл Платона).

Куб складений з 6 квадратних граней.

Має 12 ребер однакової довжини та 8 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів.

Куб також є квадратним паралелепіпедом, рівностороннім кубоїдом, прямим (правильногранним) ромбоедром, правильною квадратною призмою, прямокутним трикутним трапецоедром^[en]. Куб є зоноедром та параллелоедром^[en].

Куб є мірним багатогранником тривимірного простору. Тобто куб з довжиною ребра ${\displaystyle 1}$ є одиницею виміру об'єму простору (так само як квадрат є одиницею вимірювання площі).

Куб має повну октаедричну симетрію^[en] O_h, групу Коксетера [4,3], порядку 48, з абстактною структурою групи S₄ × Z₂.

Підгрупа із 24 симетрій обертання (тих, що зберігають орієнтацію простору) ізоморфна групі S₄ перестановок з 4 елементів.

Куб має 13 осей обертової симетрії:

‒ 3 осі 4-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 90°, 180° і 270°);

‒ 4 осі 3-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240°);

‒ 6 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180°).

Має 9 площин дзеркальної симетрії: 3 з них проходять через середини паралельних реберта перпеддикулярні до них, а 6 — через діагоналі протилежних граней (через протилежні паралельні ребра куба).

Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 8 вершин дорівнює 270°.

У різних дисциплінах використовуються значення терміна, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом числа називають значення цього числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

Властивості

• Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

• Площини, що проходять перпендикулярно до осей симетрії куба, утворюють перерізи у вигляді правильних багатокутників.

Зокрема, переріз куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 4-го порядку, є квадратом. Перерізом куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 3-го порядку (діагоналей куба), може бути:

1. правильний трикутник ; Найбільший за площею переріз у вигляді правильного трикутника (проходить через три вершини куба) ділить діагональ куба у співвідношенні 2:1;
2. правильний шестикутник (якщо площина проходить також через центр куба; таких перерізів у куба є 4);
3. напівправильний рівнокутний шестикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Також 12 перерізів куба площинами, перпендикулярними до осей симетрії 2-го порядку, є квадратами. Ці перерізи знаходяться на відстані ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\cdot a}$ від діагональних площин симетрії.

• Переріз куба у вигляді правильного трикутника
• Переріз куба у вигляді квадрата
• Переріз куба у вигляді правильного шестикутника
• Переріз куба у вигляді квадрата

• Куб утворює стільник, тобто кубами можна замостити тривимірний простір без проміжків та накладень. Куб є єдиним правильним багатогранником, що має таку властивість.

Анімація складання розгортки куба

11 розгорток куба.