Дотична

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Історія

Евклід робив кілька посилань на дотичну (ἐφαπτομένη ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (бл. 300 р. до н. е.). У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з диференціального та інтегрального числення й використав її для обчислення дотичних до параболи. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між f(x+h) і f(x) та поділити її на h. Незалежно від нього, Рене Декарт використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Жиль де Роберваль^[en] знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів.Рене-Франсуа де Слуз^[en] та Йоганнес Гудде^[en] знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних. Подальші розробки включали роботи Джона Валліса та Ісаака Барроу, які використовувалися для створення теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її». Це старе визначення не дозволяє точкам перегину мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару нескінченно близьких точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці P називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки P.

Дотична до кривої на площині

Якщо крива є графіком неперервно диференційовної функції f, тобто її можна задати рівнянням ${\displaystyle y=f(x),}$ то рівняння її дотичної в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ має наступний вигляд:

${\displaystyle y=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}),}$

де ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ — значення похідної функції f у точці x₀. Причому ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.

Нехай крива задана неявно, а саме через рівняння ${\displaystyle F(x,y)=0,}$ причому в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ функція F має неперервні частинні похідні ${\displaystyle F_{x}}$ й ${\displaystyle F_{y}}$, значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці P буде таким:

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.}$

Якщо крива має регулярну параметризацію, тобто її можна задати вектор-функцією ${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t)),}$ де x та y — неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці P, яка відповідає значенню параметра t = t₀, має наступне векторно-параметричне рівняння:

${\displaystyle R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,}$

де ${\displaystyle r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}))}$ — дотичний вектор кривої (напрямний вектор дотичної).

Дотичні до кривих другого порядку

Крива	Рівняння кривої	Рівняння дотичної в точці P(x0, y0)
Коло	${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-a)(x-x_{0})+(y_{0}-b)(y-y_{0})=0}$
Парабола	${\displaystyle y^{2}=2px}$	${\displaystyle y_{0}y=p(x+x_{0})}$
Еліпс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
Гіпербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

Дотична до кривої у просторі

Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією ${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t)),}$ де x, y та z — неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці P, яка відповідає значенню параметра t = t₀, має векторно-параметричне рівняння ${\displaystyle R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,}$ де ${\displaystyle r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}),z^{\prime }(t_{0}))}$ — дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке канонічне рівняння:

${\displaystyle {\frac {x-x(t_{0})}{x^{\prime }(t_{0})}}={\frac {y-y(t_{0})}{y^{\prime }(t_{0})}}={\frac {z-z(t_{0})}{z^{\prime }(t_{0})}}.}$

Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,z)=0\\\Phi (x,y,z)=0\end{cases}},}$

де ${\displaystyle F}$ та ${\displaystyle \Phi }$ — неперервно диференційовні функції, для яких ${\displaystyle [\nabla F,\nabla \Phi ]\neq 0,}$ де квадратні дужки позначають векторний добуток, а ${\displaystyle \nabla F=(F_{x},F_{y},F_{z})}$ — градієнт функції F. Тоді дотична в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$ задається наступною системою рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\\\Phi _{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+\Phi _{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+\Phi _{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\end{cases}}.}$

Причому ${\displaystyle T=[\nabla F,\nabla \Phi ](x_{0},y_{0},z_{0})}$ є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{w_{1}}}={\frac {y-y_{0}}{w_{2}}}={\frac {z-z_{0}}{w_{3}}},}$

де w₁, w₂ та w₃ — координати вектора T.

Дотична площина до поверхні

Докладніше: Дотична площина

Дотичною площиною до поверхні в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$, де поверхню можна задати таким рівнянням ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ що F — неперервно диференційована функція, причому ${\displaystyle \nabla F\neq 0}$ в точці P, називається площина, яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку P.

Рівняння цієї площини має наступний вигляд:

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Причому ${\displaystyle \nabla F}$ в точці P є напрямним вектором нормалі до дотичної площини.

Дотичний простір до гладкого многовиду

Докладніше: Дотичний простір

Поняття дотичної можна узагальнити на довільний гладкий многовид. Дотичним простором до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює лінійний простір, розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.

Див. також

• Тригранник Френе
• Метод дотичних
• Стичне коло
• Стична площина