Теорема Ферма про прямокутний трикутник

Теорема Ферма про прямокутний трикутник — доведення неіснування в теорії чисел, опубліковане 1670 року серед праць П'єра Ферма невдовзі після його смерті. Це єдине повне доведення, наведене Ферма. Є багато еквівалентних формулювань, одне з яких навів (але не довів) 1225 року Фібоначчі. У геометричній формі теорема стверджує:

• Прямокутний трикутник на евклідовій площині, в якого довжини всіх трьох сторін — раціональні числа, не може мати площу, яка дорівнює квадрату раціонального числа. Площу прямокутного трикутника з раціональними сторонами називають конгруентним числом, тобто, жодне конгруентне число не може бути квадратним.
• Прямокутний трикутник і квадрат із рівними площами не можуть мати всі сторони, сумірні одна з одною.
• Не існує двох прямокутних трикутників із цілими сторонами, в яких два катети одного трикутника є катетом і гіпотенузою іншого трикутника.

Абстрактніше, як результат щодо діофантових рівнянь (цілочисельні або раціональні розв'язки поліноміальних рівнянь), це еквівалентно таким твердженням:

• Якщо три квадратні числа утворюють арифметичну прогресію, то проміжок між послідовними числами в цій прогресії (який називається конгруумом^[en]) сам не може бути квадратним числом.
• Єдиними раціональними точками на еліптичній кривій ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+1)}$ є три тривіальні точки з ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$ і ${\displaystyle y=0}$.
• Рівняння четвертого степеня ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$ не має ненульового цілочисельного розв'язку.

Безпосереднім наслідком останнього з цих формулювань є те, що велика теорема Ферма істинна в частковому випадку, коли показник степеня дорівнює 4.

Формулювання

Квадрати в арифметичній прогресії

1225 року імператор Фрідріх II запропонував математику Фібоначчі взяти участь у математичному змаганні з кількома іншими математиками, поставивши йому три задачі, які запропонував його придворний філософ Іван Палермський^[en]. Перша з задач полягала у відшуканні трьох раціональних чисел, квадрати яких розташовані на однаковій відстані один від одного на п'ять одиниць. Фібоначчі розв'язав ці три задачі за допомогою цих трьох чисел. ${\displaystyle 31/12}$, ${\displaystyle 41/12}$, та ${\displaystyle 49/12}$. У «Книзі квадратів»^[it], яку Фібоначчі опублікував пізніше того ж року, він розв'язав загальнішу задачу знаходження трійок квадратів, рівновіддалених один від одного, утворюючи арифметичну прогресію. Фібоначчі назвав проміжок між цими числами конгруумом^[en]. Один зі способів опису розв'язання Фібоначчі полягає в тому, що числа, які потрібно піднести до квадрата, є різницею катетів, гіпотенузою та сумою катетів піфагорового трикутника, і що конгруум у чотири рази більший за площу цього трикутника. Фібоначчі зауважив, що сам конгруум не може бути квадратним числом, але не надав задовільного доведення цього факту.

Якби три квадрати ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ і ${\displaystyle c^{2}}$ могли утворити арифметичну прогресію, конгруум якої також був би квадратом ${\displaystyle d^{2}}$, то ці числа задовольняли б діофантові рівняння $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}}$$Тобто, за теоремою Піфагора, вони утворюють два цілочисельні прямокутні трикутники, в яких пара ${\displaystyle (d,b)}$ дає один катет і гіпотенузу меншого трикутника, а також утворює два катети більшого трикутника. Але якщо (як стверджував Фібоначчі) не може існувати квадратний конгруум, то не може існувати двох цілочисельних прямокутних трикутників, які мають дві такі спільні сторони.

Площі прямокутних трикутників

Оскільки конгруум — це число, рівне помноженій на чотири площі піфагорового трикутника, а множення на чотири залишає число квадратним, існування квадратного конгруума еквівалентне існуванню піфагорового трикутника з квадратною площею. Саме цього варіанту задачі стосується доведення Ферма: він показує, що такого трикутника не існує. Розглядаючи цю задачу, Ферма надихався не Фібоначчі, а виданням «Арифметики» Діофанта, яке 1621 року в перекладі французькою мовою опублікував Клодом Гаспаром Баше де Мезіріаком^[en]. У цій книзі описано різні особливі прямокутні трикутники^[en], площі яких мають форми, пов'язані з квадратними числами, але не розглянуто випадок площ, які самі є квадратними числами.

Переставляючи рівняння для двох згаданих піфагорових трикутників, а потім перемноживши їх, отримуємо діофантове рівняння

${\displaystyle b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}}$

яке можна спростити, ввівши нову змінну ${\displaystyle e=ac}$, до ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}.}$ І навпаки, будь-які три додатні цілі числа, що задовольняють рівняння ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$, приводять до квадратного конгрууму: для цих чисел квадрати ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}}$, ${\displaystyle (b^{4}+d^{4})^{2}}$, та ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}}$ утворюють арифметичну прогресію з конгруумом ${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}}$, який сам є квадратом. Отже, розв'язність ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ еквівалентна існуванню квадратного конгруума. Але, якби велика теорема Ферма мала контрприклад для показника степеня ${\displaystyle 4}$, цілочисельний розв'язок рівняння ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$, то піднесення до квадрата одного з трьох чисел у контрприкладі дало б три числа, які є розв'язком рівняння ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ Отже, доведення Ферма того, що жоден піфагорів трикутник не має квадратної площі, доводить велику теорему Ферма для показника степеня ${\displaystyle 4}$.

Інше еквівалентне формулювання цієї ж задачі стосується конгруентних чисел, тобто, чисел, які є площами прямокутних трикутників, три сторони яких є раціональними числами. Помноживши сторони на спільний знаменник, будь-яке конгруентне число можна перетворити на площу піфагорового трикутника, з чого випливає, що конгруентні числа — це саме числа, утворені множенням конгруума на квадрат раціонального числа. Отже, існування квадратного конгруума еквівалентне твердженню, що число 1 не є конгруентним числом. Інший, більш геометричний спосіб цього формулювання полягає в тому, що квадрат (геометрична фігура) та прямокутний трикутник не можуть мати одночасно однакові площі та всі сторони, сумірні одна одній.

Еліптична крива

Ще одна еквівалентна форма теореми Ферма включає еліптичну криву, що складається з точок, координати яких ${\displaystyle (x,y)}$ задовольняють рівняння

${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-1).}$

Точки (−1,0), (0,0) та (1,0) дають очевидні розв'язки цього рівняння. Теорема Ферма еквівалентна твердженню, що це єдині точки на кривій, для яких обидва ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ є раціональними. У загальнішому випадку, прямокутні трикутники з раціональними сторонами та площею ${\displaystyle n}$ відповідають один до одного раціональним точкам з додатними координатами ${\displaystyle y}$ на еліптичній кривій ${\displaystyle y^{2}=x(x+n)(x-n)}$.

Доведення Ферма

За свого життя Ферма кинув виклик кільком іншим математикам щодо доведення неіснування піфагорового трикутника з квадратною площею, але сам не опублікував цього доведення. Однак він написав доведення у своєму примірнику «Арифметики» Діофанта, тому самому примірнику, в якому він писав, що може довести велику теорему Ферма. 1670 року син Ферма, Клемент-Самуель, опублікував видання цієї книги, разом із примітками Ферма на полях із доведенням теореми про прямокутний трикутник.

Доведення Ферма використовує метод нескінченного спуску. Воно показує, що з будь-якого прикладу піфагорового трикутника з квадратною площею можна вивести менший приклад. Оскільки піфагорові трикутники мають площі, виражені додатними цілими числами, і не існує нескінченної спадної послідовності додатних цілих чисел, то не може існувати піфагорового трикутника з площею, вираженою квадратним числом.

Докладніше, припустимо, що ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle z}$ цілі довжини сторін прямокутного трикутника, площа якого є квадратним числом. Поділивши на всі спільні дільники, можна зробити цей трикутник примітивним і з відомої форми всіх примітивних піфагорових трійок можна задати ${\displaystyle x=2pq}$, ${\displaystyle y=p^{2}-q^{2}}$ і ${\displaystyle z=p^{2}+q^{2}}$, після чого задача зводиться до знаходження взаємно простих цілих чисел ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ (одне з яких парне), таких, що площа ${\displaystyle pq(p^{2}-q^{2})}$ є квадратом. Щоб це число було квадратом, його чотири лінійні множники ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle p+q}$ і ${\displaystyle p-q}$ (які є взаємно простими) самі повинні бути квадратами; нехай ${\displaystyle p+q=r^{2}}$ і ${\displaystyle p-q=s^{2}}$. Як ${\displaystyle r}$, так і ${\displaystyle s}$ мають бути непарними, оскільки лише одне з ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ є парним, а інше — непарне. Отже, ${\displaystyle r-s}$ та ${\displaystyle r+s}$ — парні, і одне з них ділиться на 4. Ділення їх на два дає ще два цілих числа ${\displaystyle u=(r-s)/2}$ і ${\displaystyle v=(r+s)/2}$, одне з яких парне (див. попереднє речення). Оскільки ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=(r^{2}+s^{2})/2=p}$ — квадрат, ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ є катетами іншого піфагорового трикутника, площа якого ${\displaystyle uv/2=q/4}$. Оскільки ${\displaystyle q}$ є квадратом, і оскільки ${\displaystyle uv}$ — парне, ${\displaystyle q/4}$ теж є квадратом. Отже, будь-який піфагорів трикутник із квадратною площею приводить до меншого піфагорового трикутника з квадратною площею. Доведення закінчено.