Теорема Лагранжа про чотири квадрати

Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.

Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :

${\displaystyle n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,\!}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\2&=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}}$

Теорема доведена Лагранжем в 1770 році. Довільне натуральне число, що не записується у виді ${\displaystyle 4^{k}(8m+7)\,\!}$ можна також записати як суму квадратів трьох чисел.

Доведення

Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:

${\displaystyle \ (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle \ (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+}$

${\displaystyle \ (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+}$

${\displaystyle \ (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle \ (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.}$

Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.

Спершу для такого простого числа ${\displaystyle p}$ існує натуральне число ${\displaystyle 0<m<p}$ для якого ${\displaystyle mp=1+a^{2}+b^{2}}$ для деяких цілих ${\displaystyle a,b.}$ Це випливає з того, що цілі числа ${\displaystyle a^{2}}$ для ${\displaystyle 0\leqslant a\leqslant {\frac {p-1}{2}}}$ не є рівними за модулем ${\displaystyle p.}$ Справді, якщо для двох таких різних чисел ${\displaystyle a_{1}^{2}\equiv a_{2}^{2}\mod p}$ то ${\displaystyle (a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})\equiv 0\mod p}$ і або різниця ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ або сума ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ ділиться на ${\displaystyle p}$, що не є можливим.

Аналогічно числа ${\displaystyle -b^{2}-1}$ для ${\displaystyle 0\leqslant b\leqslant {\frac {p-1}{2}}}$ не є рівними за модулем ${\displaystyle p.}$ Загалом є ${\displaystyle p+1}$ число виду ${\displaystyle a^{2}}$ або ${\displaystyle -b^{2}-1}$ із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем ${\displaystyle p}$. Це мають бути деякі числа ${\displaystyle a^{2}}$ і ${\displaystyle -b^{2}-1}$, тобто ${\displaystyle a^{2}\equiv -b^{2}-1\mod p}$ і відповідно існує ціле число ${\displaystyle m}$ для якого ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1=mp.}$ Оскільки ${\displaystyle a^{2},b^{2}<\left({p \over 2}\right)^{2}}$ то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1<1+2\left({p \over 2}\right)^{2}<p^{2}}$ і звідси також ${\displaystyle 0<m<p.}$

Зокрема також число ${\displaystyle mp}$ є сумою чотирьох квадратів ${\displaystyle mp=0+1+a^{2}+b^{2}}$ і один із доданків не ділиться на ${\displaystyle p}$.

Нехай тепер ${\displaystyle m}$ є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів ${\displaystyle mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2},\,\!}$ де хоча б одне із цілих чисел ${\displaystyle x_{i}}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$. Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що ${\displaystyle m=1.}$

Число ${\displaystyle m}$ є непарним. Адже якщо ${\displaystyle m}$ є парним, то парним є і ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}.\,\!}$ Але тоді або всі ${\displaystyle x_{i}}$ є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ мають однакову парність, а також ${\displaystyle x_{3}}$ і ${\displaystyle x_{4}}$ мають однакову парність. Тоді:

${\displaystyle {\frac {mp}{2}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}-x_{4}}{2}}\right)^{2}.}$

Тобто ${\displaystyle {\frac {mp}{2}}}$ є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на ${\displaystyle p}$ і це суперечить мінімальності числа ${\displaystyle m}$.

Якщо ${\displaystyle m\geqslant 3}$ є непарним числом, то існують числа ${\displaystyle y_{i},}$ які є рівними ${\displaystyle x_{i}}$ за модулем ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle |y_{i}|<{\frac {m}{2}}.}$ Також не всі ${\displaystyle x_{i}}$ діляться на ${\displaystyle m}$ (в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною ${\displaystyle mp}$, ділилася б на ${\displaystyle m^{2},}$ що не є можливим для ${\displaystyle 0<m<p}$) і тому хоча б одне із чисел ${\displaystyle y_{i}}$ не є рівним 0. Відповідно згідно означень

${\displaystyle 0<y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}<4\left({\frac {m}{2}}\right)^{2}=m^{2}}$

Водночас ${\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv 0\mod m}$ і існує ціле число ${\displaystyle m_{2}<m}$ для якого ${\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}=m_{2}m.}$

Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\,\!}$ і ${\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}}$ є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=m^{2}m_{2}p.}$

Розглядаючи означення усіх ${\displaystyle z_{i}}$ у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що ${\displaystyle x_{i}}$ і ${\displaystyle y_{i}}$ є рівними за модулем ${\displaystyle m}$ одержується, що всі ${\displaystyle z_{i}}$ діляться на ${\displaystyle m}$, тобто ${\displaystyle z_{i}=mt_{i}}$. Ділячи рівність ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=m^{2}m_{2}p}$ на ${\displaystyle m^{2}}$ одержуємо, що ${\displaystyle t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2}+t_{4}^{2}=m_{2}p}$ і ${\displaystyle m_{2}p}$ є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності ${\displaystyle m.}$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа
• Теорема Лежандра про три квадрати
• Теорема про суму двох квадратів
• Теорема Ферма про суму двох квадратів
• Тотожність чотирьох квадратів
• Функція суми квадратів