Симетричний многочлен

Симетричний многочлен — многочлен від n змінних ${\displaystyle \ F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен ${\displaystyle F\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}}$

справедлива рівність:

${\displaystyle \ F(x_{1},\dots ,x_{n})=F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).}$

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади

Для двох змінних x₁, x₂ прикладами симетричних многочленів є:

• ${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle 4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}+(x_{1}+x_{2})^{4}}$

для трьох змінних x₁, x₂, x₃ наступний многочлен теж буде симетричним

• ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}\,}$

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

• ${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}.}$

Натомість многочлен:

• ${\displaystyle x_{1}-x_{2}\,}$

не є симетричним, оскільки після перестановки x₁ і x₂ одержується не рівний вихідному многочлен, x₂ − x₁.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

• ${\displaystyle x_{1}^{4}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{4}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{4}.}$

Особливі види симетричних многочленів

Степеневі симетричні многочлени

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}.}$

Елементарні симетричні многочлени

Докладніше: Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}x_{j},\\e_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}x_{j}x_{k},\\e_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}x_{j}x_{k}x_{l},\\\end{aligned}}}$

і так далі до

${\displaystyle e_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.}$

Для довільного многочлена можна записати:

${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\cdots x_{j_{k}}.}$

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що ${\displaystyle P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0.}$

Тотожності Ньютона

Докладніше: Тотожності Ньютона

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

Для перших кількох многочленів рівності мають вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Теорема Вієта

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}),}$

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{n-d}&=\textstyle (-1)^{d}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{d}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{d}}\\&{}\ \,\vdots \\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\\\end{aligned}}}$

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ з коефіцієнтами з R.

Доведення

Для симетричного многочлена ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ визначимо T = T_h як множину усіх наборів чисел ${\displaystyle (l_{1},\ldots ,l_{n})}$ для яких коефіцієнт ${\displaystyle x_{1}^{l_{1}},\dots ,x_{n}^{l_{n}}}$ в ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ не рівний нулю. Визначимо розмір h, як ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ де ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ є елементом T для якого ${\displaystyle k_{1}}$ є найбільшим з можливих, ${\displaystyle k_{2}}$ — найбільше з можливих при даному ${\displaystyle k_{1}}$ і т. д. Оскільки ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ є симетричним, то ${\displaystyle (l_{1},\ldots ,l_{n})\in T}$ якщо і тільки якщо кожна перестановка ${\displaystyle (l_{1},\ldots ,l_{n})}$ належить T. Звідси випливає, що ${\displaystyle (k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{n})}$. З використанням введеного поняття розміру всі елементи ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ можна впорядкувати: якщо h₁ має розмір ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ і h₂ має розмір ${\displaystyle (k_{1}',\ldots ,k_{n}')}$ тоді h₁ > h₂ якщо для деякого ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ виконується ${\displaystyle k_{1}=k_{1}',\ldots ,k_{i}=k_{i}'}$ і ${\displaystyle k_{i+1}>k'_{i+1}.\,}$ Елементи ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ є розміром деякого симетричного многочлена ${\displaystyle g\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Для невід'ємних цілих чисел d₁, …, d_n, розмір ${\displaystyle h=e_{1}^{d_{1}}e_{2}^{d_{2}}\dots e_{n}^{d_{n}}}$ є рівним ${\displaystyle (d_{1}+d_{2}+\dots +d_{n},d_{2}+\dots +d_{n},\ldots ,d_{n-1}+d_{n},d_{n})}$. Взявши ${\displaystyle d_{1}=k_{1}-k_{2};d_{2}=k_{2}-k_{3};\ldots ;d_{n-1}=k_{n-1}-k_{n},d_{n}=k_{n},}$ одержуємо, що розмір h рівний ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$. Коефіцієнт при ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}},\dots ,x_{n}^{k_{n}}}$ в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент ${\displaystyle a\in R,}$ такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного ${\displaystyle f\in R[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ існують ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in R}$ і ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{m}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ такі, що ${\displaystyle f-a_{1}h_{1}-\dots -a_{m}h_{m}}$ має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.

Див. також

• Симетрична функція